Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras relaciona os três lados de um triângulo retângulo (aquele que tem um ângulo de 90°). Ele afirma que o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto, e o maior de todos) é igual à soma dos quadrados dos catetos (os dois lados que formam o ângulo reto):

$c^2 = a^2 + b^2$

Onde:

c é a hipotenusa;
a e b são os catetos.

Com essa relação, conhecendo dois lados é sempre possível descobrir o terceiro. O que muda é como isolamos a incógnita.

Encontrando a hipotenusa

Quando faltam descobrir a hipotenusa, isolamos c tirando a raiz da soma dos quadrados dos catetos:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Exemplo 1: catetos de 3 cm e 4 cm

$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16}$

$c = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

A hipotenusa mede 5 cm.

Encontrando um cateto

Quando você já tem a hipotenusa e um cateto, a operação muda: para achar o cateto que falta, subtraímos. Isolando um cateto na fórmula:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

O quadrado do cateto conhecido é subtraído do quadrado da hipotenusa. Esse é o erro mais comum: ao procurar um cateto, nunca some os quadrados; subtraia.

Exemplo 2: hipotenusa de 13 cm e um cateto de 5 cm

$a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25}$

$a = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

O outro cateto mede 12 cm. Repare que o cateto (12) ficou menor que a hipotenusa (13), como tem de ser.

No dia a dia: a diagonal de um campo

Um campo retangular mede 8 m de comprimento por 15 m de largura. Qual é a distância em linha reta de um canto ao canto oposto (a diagonal)? Os dois lados são os catetos, e a diagonal é a hipotenusa:

$c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225}$

$c = \sqrt{289} = 17 \text{ m}$

A diagonal mede 17 m. Atravessar o campo na diagonal é bem mais curto do que andar pelos lados (8 + 15 = 23 m).

E se você já soubesse a diagonal e um dos lados? Por exemplo, diagonal de 17 m e largura de 15 m, para achar o comprimento. Aí o lado é um cateto, então subtraímos:

$a = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225}$

$a = \sqrt{64} = 8 \text{ m}$

Resumo: quando somar e quando subtrair

Procurando a hipotenusa (o maior lado): some os quadrados dos catetos — c = √(a² + b²).
Procurando um cateto: subtraia o quadrado do cateto conhecido do quadrado da hipotenusa — a = √(c² − b²).

Uma checagem rápida: a hipotenusa é sempre o maior lado. Se um resultado contraria isso, a operação escolhida foi a errada.

Onde o teorema é usado

Construção: conferir esquadros e calcular diagonais de paredes e telhados.
Navegação e mapas: medir a distância direta entre dois pontos.
Física: somar vetores perpendiculares (por exemplo, deslocamentos em duas direções).
Computação gráfica: calcular distâncias entre pontos na tela.

Perguntas Frequentes sobre o Teorema de Pitágoras

Qual é a fórmula do Teorema de Pitágoras?

A fórmula é c² = a² + b², onde c é a hipotenusa e a e b são os catetos. Para achar a hipotenusa, use c = √(a² + b²); para achar um cateto, use a = √(c² − b²).

Como encontrar um cateto quando conheço a hipotenusa?

Subtraia o quadrado do cateto conhecido do quadrado da hipotenusa e tire a raiz: a = √(c² − b²). Por exemplo, com hipotenusa 13 e cateto 5: a = √(169 − 25) = √144 = 12.

O teorema vale para qualquer triângulo?

Não. O Teorema de Pitágoras só vale para triângulos retângulos, isto é, que têm um ângulo de exatamente 90°. Para triângulos sem ângulo reto, usam-se outras relações, como a lei dos cossenos.

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